Espacio de equilibrio y pseudo linealización de sistemas no lineales

Dec 12, 2023

Scientific Reports volumen 12, Número de artículo: 21147 (2022) Citar este artículo

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Este trabajo intenta extender el concepto de punto de equilibrio a lo que se denomina espacio de equilibrio, que puede adaptarse a un sistema en el que existe un número infinito de puntos de equilibrio. En el contexto del método de linealización de Lyapunov extendido para el espacio de equilibrio, este artículo propone una pseudo linealización, a partir de la cual podemos derivar una representación lineal para un sistema no lineal. Se muestra que el estado de equilibrio de esta pseudo linealización y su estabilidad son los mismos que los del sistema no lineal original. Como ejemplo de la aplicabilidad, la pseudo linealización propuesta se aplica para derivar un modelo de tiempo discreto para un sistema de giroscopio de momento de control a partir de un modelo de tiempo continuo no lineal. Los resultados de la simulación muestran que el modelo de tiempo discreto derivado usando la pseudo linealización propuesta produce respuestas más cercanas a las del modelo de tiempo continuo que el modelo de tiempo discreto derivado por el conocido método de diferencia directa y la representación pseudo lineal convencional. método, incluso con un gran intervalo de muestreo.

La mayoría de los sistemas de ingeniería basados ​​en fenómenos naturales son no lineales. El análisis de la estabilidad y el diseño de controladores para sistemas no lineales son temas importantes en la teoría de control de sistemas1. Sin embargo, a pesar de la investigación pionera en este campo, no existe un método universal para diseñar sistemas de control no lineales2. Para estudiar la estabilidad de los sistemas no lineales, la teoría de Lyapunov que incluye tanto el método directo como el método de linealización (o método indirecto) es uno de los enfoques más generales y útiles. El método directo se utiliza para estudiar la estabilidad global de sistemas no lineales utilizando la función de Lyapunov; sin embargo, un inconveniente de esto es que no existe una forma general de deducir la función de Lyapunov para un sistema específico. Por el contrario, el método de linealización estudia la estabilidad local alrededor de un punto de equilibrio a partir de su aproximación lineal, y se ha convertido en una importante herramienta para el diseño de controladores para sistemas no lineales utilizando las conocidas teorías de control lineal3,4,5. En los últimos años, el operador de Koopman y el análisis de contracción se han convertido en dos de los enfoques populares para analizar la estabilidad de equilibrios hiperbólicos individuales de sistemas no lineales globalmente y exactamente a través de la teoría de sistemas lineales6,7.

En sistemas como un robot que se mueve en un plano horizontal sin fricción8,9 o un péndulo que no está bajo la influencia de la gravedad10,11, en los que la posición/ángulo y la velocidad se seleccionan como variables de estado y la velocidad inicial se establece en cero, por una posición inicial arbitraria, el sistema permanece en el estado inicial para todas las instancias futuras de tiempo. Más concretamente, estos sistemas tienen un número infinito de puntos de equilibrio, que son independientes de la posición. Tal conjunto de equilibrios no aislados se conoce como variedad de equilibrios12,13. Cabe señalar que este concepto de variedad de equilibrios es diferente de la variedad central de un equilibrio aislado14,15. El método de linealización de Lyapunov es una herramienta útil para investigar la estabilidad de un solo punto de equilibrio. Sin embargo, para sistemas que tienen un número infinito de puntos de equilibrio, no es realista investigar todos los puntos de equilibrio individualmente. Además, los ejemplos mencionados anteriormente se conocen como sistemas no holonómicos, y la linealización puede cambiar la capacidad de control del sistema no lineal original16,17,18,19. Por lo tanto, aunque el sistema no lineal es controlable, su linealización se vuelve incontrolable y es inalcanzable para el diseño del controlador. Este artículo intenta extender el concepto de puntos de equilibrio a lo que se denomina espacio de equilibrio, que puede adaptarse a sistemas que tienen un número infinito de puntos de equilibrio. En el contexto del método de linealización de Lyapunov, este artículo propone la pseudo linealización, mediante la cual podemos derivar un sistema no lineal presentado por la forma lineal20,21,22,23. Las principales contribuciones de este trabajo son las que se exponen a continuación:

Proponer una definición de espacio de equilibrio, que es una extensión del concepto de punto de equilibrio;

Proponer una pseudo linealización basada en el espacio de equilibrio y mostrar que el estado de equilibrio de esta pseudo linealización y su estabilidad son los mismos que los del sistema no lineal original;

La pseudo linealización propuesta se aplica para derivar un modelo de tiempo discreto para un sistema de giroscopio de momento de control (CMG), una aplicación del efecto giroscópico, que a menudo se usa como actuador de control de actitud para satélites artificiales y naves espaciales24,25,26,27 . El resto de este documento está organizado de la siguiente manera: la sección "Punto de equilibrio y linealización de Lyapunov" resume la definición de puntos de equilibrio y el método de linealización de Lyapunov. La definición de espacio de equilibrio, la pseudo linealización correspondiente y sus propiedades se presentan en la sección "Espacio de equilibrio y pseudo linealización". En la sección "Modelo de tiempo discreto del sistema CMG basado en pseudo linealización" se presenta una aplicación de pseudo linealización para derivar un modelo de tiempo discreto del sistema CMG. Los resultados de la simulación para el sistema CMG se presentan en la sección "Simulaciones" y, finalmente, las conclusiones se dan en la sección "Conclusión".

Primero, consideramos un sistema descrito por la siguiente ecuación de espacio de estado

donde \({\mathbf{x}}\) es un estado del sistema, que pertenece a un espacio de estados \({\mathbf{X}} \subset R^{n}\), el tiempo t es una variable independiente, y \({\mathbf{f}} :{\mathbf{X}} \rightarrow R^{n}\) es una función de sistema continuamente diferenciable.

Supongamos que \({\mathbf{x}}_{ep} \in {\mathbf{X}}\) es un punto de equilibrio de (1), es decir,

Una linealización de (1) sobre el punto de equilibrio \({\mathbf{x}}_{ep}\) viene dada por

donde \(D{\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}}_{ep} \right) \) es una matriz jacobiana de \({\mathbf{f}}\left( {\mathbf {x}} \right) \) en \({\mathbf{x}}_{ep}\), es decir,

se debe notar que

Así, si \({\mathbf{x}}_{ep}\) es un punto de equilibrio del sistema descrito a través de la Ec. (1), también es un punto de equilibrio del sistema linealizado descrito por la ecuación. (3). Además, tenemos

Siguiendo el teorema indirecto de Lyapunov, la estabilidad de \({\mathbf{x}}_{ep}\) en el sistema original y el sistema linealizado son idénticas localmente4,5.

El teorema indirecto de Lyapunov mencionado anteriormente es una herramienta útil para investigar la estabilidad de un solo punto de equilibrio. Sin embargo, con un sistema que contiene un número infinito de puntos de equilibrio, investigar todos los puntos de equilibrio individualmente no es realista. En esta sección, el concepto de punto de equilibrio y la linealización correspondiente presentada en la sección "Punto de equilibrio y linealización de Lyapunov" se amplían para desarrollar un concepto de espacio de equilibrio y una pseudo linealización.

(Espacio de equilibrio) Para un sistema descrito por Eq. (1), existe un subespacio \({\mathbf{X}}_{es}\) del espacio de estados \({\mathbf{X}}\) (\({\mathbf{X}}_{ es} \subset {\mathbf{X}}\)), satisfaciendo

dónde

y \({\mathbf{I}}\) es una matriz identidad \(n \times n\), \({{\mathbf{T}}} \in {R^{n \times n}}\) es una matriz diagonal, cuyos elementos son uno o cero, y tiene un rango de m (\(m \le n\)), y \(\mathbf{\chi }_{es} \in {\mathbf{X} }\) representa valores de estado, en cuyo caso \({\mathbf{X}}_{es}\) y \({\mathbf{x}}_{es}\) son el espacio de equilibrio y el estado de equilibrio de ( 1), respectivamente. El parámetro m se llama orden del espacio de equilibrio \({\mathbf{x}}_{es}\). La variedad \(\left( {n - m} \right) \)-dimensional correspondiente al elemento distinto de cero de la matriz \(\left( {\mathbf{I}} - {\mathbf{T}} \right) \) se conoce como una variedad de equilibrios12.

Cabe señalar que si existe un \({\mathbf{x}}_{es}\) tal que \({\mathbf{f}}\left( {{\mathbf{x}}_{es} } \right) = {\mathbf{0}}\), entonces \({\mathbf{x}}_{es}\) siempre se puede expresar por la forma de (8), que se compone de determinados estados\ (({\mathbf{I}} - {\mathbf{T}} ){{\mathbf{\chi}}_{es}}\) y estados indeterminados \(\mathbf{Tx}(t)\). La matriz \({\mathbf{T}}\) y el vector \({\mathbf{\chi }}_{es}\) son únicos.

El espacio de equilibrio del siguiente sistema

es dado por

y tiene el orden de \(m=1\). La variedad de equilibrios de este sistema es la línea \(x_1=2\).

Para un punto arbitrario \({\mathbf{x}}_{ep} \in {\mathbf{X}}_{es}\), \({\mathbf{x}}_{ep}\) es un punto de equilibrio de (1). El espacio de equilibrio \({\mathbf{X}}_{es}\) está compuesto por un número infinito de puntos de equilibrio.

Cuando el orden del espacio de equilibrio es cero (\(m=0\)), es decir, \({\mathbf{T}}={\mathbf{0}}\), el espacio de equilibrio es un conjunto de puntos de equilibrio \({\mathbf{\chi }}_{es}\).

Cuando el orden del espacio de equilibrio \(m=n\), es decir, \({\mathbf{T}}={\mathbf{I}}\), el espacio de equilibrio \({\mathbf{X}}_ {es}\) y el espacio de estado \({\mathbf{X}}\) son idénticos. En otras palabras, el sistema (1) no es dinámico, es decir, es un sistema estático.

Para un sistema lineal \(\dot{{\mathbf{x}}} = {\mathbf{Ax}}\), el orden del espacio de equilibrio m es idéntico a la dimensión del espacio nulo de la matriz del sistema A.

En el contexto del punto de equilibrio presentado en la sección "Punto de equilibrio y linealización de Lyapunov", podemos derivar los siguientes resultados para el espacio de equilibrio.

Al linealizar el sistema (1) sobre \({\mathbf{x}}_{es}\) , podemos derivar el siguiente sistema

Cabe señalar que dado que el estado de equilibrio \({\mathbf{x}}_{es}\) está compuesto por parte del estado \({\mathbf{x}}\), aunque el sistema dado por la Ec. (11) está representado por una forma lineal, es un sistema no lineal, y esto se conoce como una representación pseudolineal. Mientras que la forma pseudo lineal convencional generalmente representa la función no lineal original \({\mathbf{f}}\) en una forma lineal20,21,22,23, es decir,

el sistema pseudolineal (11) es una aproximación del sistema original. Al presentar un sistema no lineal mediante la forma pseudolineal, las teorías del sistema lineal se pueden aplicar para analizar o diseñar controladores para el sistema no lineal20,23,28. Además, existen algunas propiedades características, que son extensiones de la del punto de equilibrio, como se detalla a continuación.

Considere un sistema igual al usado en el Ejemplo 1. La representación pseudo-lineal convencional de este sistema viene dada por la Ec. (12), donde \({\mathbf{x}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}\end{array} } \right] ^T}\), \({{\mathbf{b}}} = {\left[ {\begin{matriz}{*{20}{c}}{ - 2}&0\end{matriz }} \derecho] ^T}\), y

Cabe señalar que la matriz \({\mathbf{A}}({\mathbf{x}})\) puede tomar una forma diferente, es decir,

El sistema pseudo-lineal aproximado sobre el estado de equilibrio \({\mathbf{x}}_{es}\) dado por (10) se puede escribir únicamente en la forma de (11), donde

Si \({\mathbf{x}}_{es}\) es un estado de equilibrio del sistema representado por la Ec. (1), entonces también es un estado de equilibrio del sistema pseudo linealizado como se representa en la ecuación. (11).

A partir de la definición de espacio de equilibrio, y después de sustituir \({\mathbf{x}}_{es}\) por \({\mathbf{f}}_{es}\) dada por la Ec. (11), tenemos

Por lo tanto, se proporciona la prueba del teorema 1. \(\cuadrado \)

Las estabilidades de \({\mathbf{x}}_{es}\) en el sistema original (1) y el sistema pseudo linealizado (11) son idénticas localmente.

Antes de probar el teorema 2, mostramos el resultado del siguiente lema.

Si \({\mathbf{x}}_{es}\in {\mathbf{X}}_{es}\), entonces la matriz jacobiana de \({\mathbf{f}}\) en \({ \mathbf{x}}_{es}\) y la matriz \({\mathbf{T}}\) en la definición 1 son ortogonales, es decir,

Para \({\mathbf{x}}_{es} \in {\mathbf{X}}_{es}\), tenemos

Al notar que \({\mathbf{x}}_{es}\) se compone de \({\mathbf{x}}\), podemos considerar \({\mathbf{f}}\left( {{ \mathbf{x}}_{es}}\right)\) como una función de \({\mathbf{x}}\). Derivando ambos lados de la Ec. (18) con respecto a \({\mathbf{x}}\) deriva lo siguiente:

Usando la regla de la cadena de la función compuesta, Eq. (19) se puede escribir como

A partir de la definición de espacio de equilibrio dada por la ecuación. (8), tenemos

Al notar que

sustituyendo las ecuaciones. (21) y (22) en la ecuación. (20) permite la derivación de la ecuación. (17). \(\cuadrado \)

Entonces lo siguiente da la prueba del teorema 2.

Derivando la función \({{\mathbf{f}}_{es}}\) dada por la Ec. (11) con respecto a \({\mathbf{x}}\), tenemos

Utilizando el resultado del Lema 1 y la Ec. (21), podemos deducir que

Sustituyendo la ecuación. (24) en la ecuación. (23) da

Al sustituir \({\mathbf{x}}_{es}\) por \({\mathbf{x}}\) en la ecuación. (25), podemos derivar

Al notar que

podemos reescribir la Ec. (26) como

Un punto arbitrario \({\mathbf{x}}_{ep} \in {\mathbf{X}}_{es}\) es un punto de equilibrio del sistema (1), que satisface la Ec. (28), es decir,

Así, siguiendo el método indirecto de Lyapunov presentado en la sección "Punto de equilibrio y linealización de Lyapunov", las estabilidades de \({\mathbf{x}}_{es}\) en el sistema original (1) y el sistema pseudo linealizado ( 11) son localmente idénticos. \(\cuadrado \)

Los resultados para el punto de equilibrio y el estado de equilibrio presentados en las secciones "Punto de equilibrio y linealización de Lyapunov" y "Espacio de equilibrio y pseudo linealización" también están disponibles para el sistema con una entrada de control, es decir,

El CMG se considera como un ejemplo para aplicar el punto de equilibrio propuesto y la pseudo linealización. El CMG es una aplicación del efecto giroscópico y se utiliza a menudo como actuador de control de actitud para satélites artificiales y naves espaciales. Se compone principalmente de cuatro cuerpos rígidos, como se muestra en la Fig. 1. El rotor 1 (volante) gira a altas velocidades para acumular momento angular y, al inclinar los cardanes 2, 3 y 4, se puede generar la fuerza de rotación del rotor 1. a cualquier otro eje de rotación. En este estudio, para describir la fórmula de manera más explícita y sin pérdida de generalidad, consideramos el modelo CMG de accionamiento de 3 ejes utilizando cardán 3, que es fijo.

Estructura del sistema CMG.

Sean \({J_{ix}},\,\,{J_{iy}},\,\,{J_{iz}}\) los momentos de inercia del cuerpo rígido i con respecto a la x fija, ejes y, y z, respectivamente; sean \(q_i\) y \(\omega _i\) el ángulo relativo y la velocidad angular relativa del cuerpo rígido i con respecto al cuerpo rígido \(i+1\) (\(i = 1,\,\ ,2,\,\,3\)), respectivamente; \({q_4}\) y \(\omega _4\) son el ángulo de rotación relativo y la velocidad angular del cardán 4 con respecto al sistema de coordenadas inercial, respectivamente; y \(\tau _1\) y \(\tau _2\) son los pares externos utilizados para controlar la rotación del rotor 1 y el cardán 2, respectivamente.

Se puede derivar un modelo de espacio de estado del sistema CMG en la forma de Eq. (30) utilizando la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange29, donde la función del sistema está dada por

En la ecuación. (31), \({\mathbf{x}} = {\left[ {\begin{matriz}{*{20}{c}} {{q_2}}&{\begin{matriz}{*{20} {c}}{{q_4}}&{{\omega_1}}&{{\omega_2}}\end{matriz}}&{{\omega_4}}\end{matriz}} \right] ^T }\) y \({{\mathbf{u}}} = {\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{\tau_1}}&{{\tau_2}} \end{array} }\right][^T}\) son el estado del sistema y la entrada del sistema, respectivamente. Cabe señalar que el ángulo de rotación \(q_1\) no aparece en la ecuación de movimiento del CMG; por lo que no se considera dentro de las variables de estado. Además, \(q_1\) se puede calcular integrando la velocidad angular \(\omega _1\). Las funciones \({f_i}\left({\mathbf{x}}\right)\) y \({g_i}\left({\mathbf{x}}\right)\) se dan a continuación:

dónde

En la ecuación anterior, \(S_{\theta }^{i}\) y \(C_{\theta }^{i}\) están definidas por

Cuando la entrada del sistema es cero, es decir, \({{\mathbf{u}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\tau _1}}&{{ \tau _2}}\end{array}} \right] ^T} = {\mathbf{0}}\), siguiendo la Ec. (31), tenemos

Cabe señalar que sustituyendo \({\omega _2} = {\omega _4} = 0\) en las ecuaciones. (32), (34) y (36) rendimientos

independientemente de los valores de \(q_2\), \(q_4\) y \(\omega _1\). El espacio de equilibrio del sistema CMG se puede escribir como

dónde

La ecuación (47) también se puede escribir como

La pseudo linealización del sistema CMG sobre el estado de equilibrio anterior viene dada por

El sistema descrito por la Ec. (51) tiene la forma de un sistema lineal, es decir,

que tiene un modelo de tiempo discreto exacto como se detalla en 30

donde T es un intervalo de muestreo y \(\delta \) es un operador delta definido por

Un modelo de tiempo discreto del sistema (30) derivado por el método de diferencias directas está dado por

Las simulaciones se llevaron a cabo usando MATLAB/Simulink para comparar las respuestas de los modelos de tiempo discreto para el sistema CMG derivados por el método convencional de discretización lineal (CL), el método de diferencia directa (FD), el método convencional de representación pseudo lineal (CPL ) y el método de pseudo linealización (ESPL) basado en el espacio de equilibrio propuesto con la respuesta en tiempo continuo (CT) no lineal original. Los momentos de inercia del CMG utilizados en las simulaciones se dan en la Tabla 124.

En todas las simulaciones, el valor inicial del sistema se fijó en cero, es decir, \({{\mathbf{x}}_0} = {\mathbf{0}}\), y el tiempo de simulación fue de 30 s. El par de entrada, \(\tau _1\), utilizado para girar la rueda interior, y \(\tau _2\), utilizado para inclinar el cardán 2 para producir el efecto giroscópico, están dados por las siguientes señales de pulso

donde \(\tau _1\) es una función escalón unitario, y \(A_1\) y \(A_2\) son amplitudes de \(\tau _1\) y \(\tau _2\), respectivamente. La forma de onda de los pares de entrada se muestra en la Fig. 2. Cuando \(A_1\) es grande y \(A_2\) es pequeño, el CMG es fuertemente estable. Por el contrario, cuando \(A_1\) es pequeño y \(A_2\) es grande, el CMG es débilmente estable. La precisión de un modelo de tiempo discreto, en general, depende del valor del intervalo de muestreo T. En las simulaciones, investigamos las respuestas de los modelos de tiempo discreto con varios valores de las amplitudes \(A_1\), \( A_2\), y el período de muestreo T. Los parámetros se resumen en la Tabla 2.

Forma de onda de los pares de entrada.

La Figura 3a muestra las respuestas de los modelos de tiempo discreto en comparación con las del modelo de tiempo continuo para \({A_1} = {A_2} = \)1.0N m y \(T = \) 0.0001 s. La figura 3b es una ampliación de la figura 3a para \(29 \le t \le 30\). Mientras que las respuestas para \(q_2\), \(\omega _2\), \(q_4\) y \(\omega _4\) de los modelos de tiempo discreto FD y CPL tendieron a divergir de las respuestas de tiempo continuo cuando el tiempo t aumentó, el modelo de tiempo discreto ESPL propuesto arrojó respuestas cercanas a las del modelo CT. La respuesta para \(q_1\) de los tres modelos de tiempo discreto tenía vibraciones de alta frecuencia cuya amplitud y fase diferían esencialmente de las del modelo CT. La Figura 4 muestra las respuestas para el sistema que se muestra en la Figura 3, pero con \({A_1} = \) 2.0N m. En este caso, los estados del CMG vibran con mayor frecuencia. Las respuestas de los modelos FD y CPL comenzaron a divergir antes, mientras que el ESPL arrojó respuestas precisas en comparación con las del modelo CT. Las Figuras 5 y 6 muestran las respuestas del sistema, donde las amplitudes de torque \(A_1\) y \(A_2\) tienen los mismos valores que los mostrados en las Figs. 3 y 4, respectivamente, pero con un intervalo de muestreo de \(T = \)0,001 s, que es 10 veces el que se muestra en las Figs. 3 y 4. Mientras que el modelo ESPL de tiempo discreto propuesto proporcionó respuestas que son exactamente similares a las del modelo CT de tiempo continuo con un gran intervalo de muestreo, el FD y CPL de tiempo discreto no conservaron las características, y sus respuestas fueron significativamente diferente de la del modelo CT.

Respuestas de los modelos CT, FD, CPL y ESPL para el caso 1.

Respuestas de los modelos CT, FD, CPL y ESPL para el caso 2.

Respuestas de los modelos CT, FD, CPL y ESPL para el caso 3.

Respuestas de los modelos CT, FD, CPL y ESPL para el caso 4.

Respuestas de los modelos CT, CL y ESPL para el equilibrio (relativamente) exacto.

Respuestas de los modelos CT, CL y ESPL para el punto de equilibrio con error.

Se realizó otra simulación para comparar el modelo ESPL derivado de la pseudo linealización propuesta basada en el estado de equilibrio y el modelo CL derivado de la linealización convencional sobre el punto de equilibrio. Dado que el sistema CMG tiene un número infinito de puntos de equilibrio, el estado estacionario del CMG se puede considerar como un candidato para el punto de equilibrio a partir del cual se toma la linealización convencional. Sin embargo, el estado estacionario del CMG depende de los pares de entrada y no puede calcularse analíticamente. Además, las vibraciones de alta frecuencia permanecen dentro del estado estacionario. Estos problemas se vuelven significativos cuando se considera la linealización convencional sobre el punto de equilibrio. En este estudio, primero se simuló el modelo de tiempo continuo y, posteriormente, se utilizó su estado estacionario, cuyas vibraciones de alta frecuencia se filtraron, como punto de equilibrio para la linealización. Considere un sistema con los mismos parámetros que se muestran en la Fig. 5. El punto de equilibrio para este caso se estima a partir de las respuestas de tiempo continuo como \({\mathbf{x}}_{ep} = {\left[ {\begin {matriz}{*{20}{c}}0&{\begin{matriz}{*{20}{c}}{0,638}&\cuádruple {29,2}&\cuádruple 0\end{matriz}}&0\end {matriz}} \right] ^T}\). La Figura 7 muestra las respuestas de los modelos de tiempo discreto CL y ESPL propuestos, en comparación con el modelo CT de tiempo continuo. Aunque el punto de equilibrio se estimó con la mayor precisión posible, hubo diferencias entre las características y las respuestas de los modelos CL y CT. La vibración de \(\omega _1\) en el modelo CT no se reprodujo dentro del modelo CL. Cuando el punto de equilibrio se estimó con un error, por ejemplo, \(10\% \) de \(\omega _1\) en comparación con el caso que se muestra en la Fig. 7, es decir, \({\mathbf{x}} _ {ep} = {\left[ {\begin{matriz}{*{20}{c}}0&{\begin{matriz}{*{20}{c}}{0.638}&\quad {31.1}& \quad 0\end{array}}&\quad 0\end{array}} \right] ^T}\), las respuestas del modelo CL fueron diferentes a las del modelo CT, no solo en amplitud sino también en la frecuencia de las vibraciones (Fig. 8). El modelo ESPL propuesto arrojó respuestas precisas y no requirió la estimación del punto de equilibrio.

En este artículo se propone un nuevo concepto de espacio de equilibrio, que es una extensión del concepto de punto de equilibrio en el espacio. El conocido teorema indirecto de Lyapunov es una herramienta útil para investigar la estabilidad de un único punto de equilibrio. Sin embargo, para sistemas con un número infinito de puntos de equilibrio, investigar todos los puntos de equilibrio por separado no es realista. Por lo tanto, el concepto de espacio de equilibrio puede considerarse como un esfuerzo por cerrar esta brecha cuando se considera el punto de equilibrio. Aunque este concepto es equivalente a la multiplicidad de equilibrios propuesta por los académicos anteriormente, se espera que la definición de espacio de equilibrio propuesta en este estudio lo acerque a las aplicaciones en problemas de ingeniería. En el sentido del método de linealización de Lyapunov, este artículo propone una pseudo linealización, mediante la cual podemos derivar un sistema no lineal presentado en forma lineal. Se muestra que el estado de equilibrio de esta pseudo linealización y su estabilidad son los mismos que los del sistema no lineal original. Para demostrar las posibles aplicaciones, se utilizó la pseudo linealización propuesta para derivar un modelo de tiempo discreto para el sistema CMG a partir de un modelo de tiempo continuo no lineal. Los resultados de la simulación mostraron que el modelo de tiempo discreto derivado usando la pseudo linealización propuesta arrojó respuestas más cercanas a las del modelo de tiempo continuo que las de los modelos de tiempo discreto derivados de la bien conocida diferencia directa, la representación pseudo lineal convencional, y la linealización de los métodos de punto de equilibrio, incluso con un gran intervalo de muestreo. La investigación de aplicaciones de la pseudo linealización basada en el estado de equilibrio para el análisis del sistema y el diseño de control se considerará como el siguiente paso.

Los conjuntos de datos utilizados y/o analizados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable.

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Los autores no tienen intereses financieros o no financieros relevantes que revelar.

Ryotaro Sakata

Dirección actual: Grupo de Simulación y Control Electrónico, Toyota Systems Corporation, Nagoya, Japón

Departamento de Sistemas de Interacción Mecánicos e Inteligentes, Universidad de Tsukuba, Tsukuba, 305-8573, Japón

Ryotaro Sakata, Tatsuya Oshima, Shin Kawai y Triet Nguyen-Van

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RS y TNV propusieron la conceptualización; Todos los autores investigaron la metodología, escribieron y editaron el manuscrito; TNV supervisó la investigación.

Correspondencia a Triet Nguyen-Van.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Sakata, R., Oshima, T., Kawai, S. et al. Espacio de equilibrio y pseudo linealización de sistemas no lineales. Informe científico 12, 21147 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-25616-1

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Recibido: 05 Agosto 2022

Aceptado: 01 diciembre 2022

Publicado: 07 diciembre 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-25616-1

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