Estabilización de un oscilador caótico a través de una clase de controladores integrales bajo saturación de entrada

Nov 07, 2023

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 5927 (2023) Citar este artículo

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Detalles de métricas

Este trabajo presenta el diseño sencillo de un controlador integral con una estructura anti-windup para evitar un comportamiento indeseable cuando se considera la saturación del actuador, y el controlador propuesto mejora el rendimiento de la dinámica de bucle cerrado de una clase de osciladores no lineales. El controlador integral propuesto tiene una ganancia de control adaptativo, que incluye el valor absoluto del error de control mencionado para desactivar la acción integral cuando se satura. El análisis de estabilidad de lazo cerrado se realiza bajo el marco de la teoría de Lyapunov, donde se puede concluir que el sistema se comporta de manera asintóticamente estable. La metodología propuesta se aplica con éxito a un oscilador tipo Rikitake, considerando una estructura SISO (single input-single output) para fines de regulación y seguimiento de la trayectoria. A modo de comparación, también se implementa un controlador integral de ganancia fija equivalente para analizar las propiedades anti-windup correspondientes de la estructura de control propuesta. Se llevan a cabo experimentos numéricos que muestran el rendimiento superior del controlador propuesto.

El control de sistemas no lineales con comportamiento altamente complejo es actualmente un tema importante en ciencia e ingeniería1,2,3,4. Como es bien sabido, los sistemas no lineales presentan multiplicidad en estado estacionario, donde son posibles variedades homoclínicas y heteroclínicas inestables5,6 y la presencia local de valores propios cero en los puntos de equilibrio7,8, los fenómenos de multiplicidad de entrada, etc.9,10 pueden afectar la controlabilidad propiedades de un sistema no lineal específico, complicando el correcto diseño de las leyes de control11,12,13.

El control de sistemas no lineales o incluso el control de sistemas dinámicos caóticos ha sido estudiado durante varios años14,15,16,17,18. El control del caos a través de controladores adaptativos, de modo deslizante, predictivos, de linealización de entrada a estado, de lógica difusa, de redes neuronales y de integrales proporcionales (PI) robustos, entre otros enfoques, se ha publicado con éxito en la literatura abierta19,20, 21,22,23,24,25. Sin embargo, la mayoría de los diseños de control mencionados anteriormente se basan en marcos matemáticos complejos y deben combinarse, por ejemplo, con algoritmos de optimización sofisticados y modelos no lineales de sistemas, lo que puede complicar su aplicación en tiempo real y su ajuste operativo por parte de los ingenieros25. Además, quedan varios otros problemas, uno de los cuales está relacionado con las restricciones físicas de los osciladores caóticos y las respectivas entradas de control manipulables, ya que es bien sabido que las variables de estado correspondientes de los osciladores pueden pertenecer a un conjunto compacto que es superior. límite inferior y que las entradas de control manipulables también pertenecen a intervalos con un valor físico mínimo y máximo26,27,28.

De lo anterior surge un problema de control tradicional que es la saturación de las acciones de control. La importancia de tener en cuenta la saturación de entrada de control en el diseño de sistemas de control prácticos ha sido bien estudiada. La saturación de un controlador disminuye el rendimiento anticipado de lazo cerrado de la dinámica del sistema y, en condiciones extremas, puede provocar inestabilidad en el lazo cerrado29.

Ahora bien, el análisis de la saturación de control se ha realizado mediante diseños anti-windup, donde las aplicaciones a sistemas lineales y controladores PI han sido dominantes en la literatura abierta30,31,32,33. Los controladores PI se emplean ampliamente en la gran mayoría de los sistemas lineales y no lineales, y el término proporcional actúa para estabilizar el comportamiento dinámico del sistema cerca de la referencia requerida o el punto de ajuste, pero se necesitan valores altos de ganancia proporcional para disminuir la compensación34, es decir , la diferencia en el valor actual de la variable controlada y el punto de ajuste, haciendo que la acción de control sea muy sensible. Además, los controladores proporcionales son sensibles a las mediciones ruidosas y, si el sistema alcanza el punto de ajuste, el control proporcional se apaga y el sistema está en operación de bucle abierto; en este caso, si hay una perturbación externa, el sistema puede volverse inestable34. Para mejorar el desempeño de un controlador proporcional, se puede agregar un término integral del error de control; el término integral es capaz de eliminar el desplazamiento, mantener el controlador encendido y rechazar algunas perturbaciones externas35. De la información anterior, sólo se ha considerado el término integral de los controladores lineales para regular varios sistemas.

De hecho, la saturación de los actuadores desde el enfoque de los controladores lineales ha sido analizada por fenómenos de integral windup, integrador windup o reset windup, que se refiere a la situación en un regulador de retroalimentación integral proporcional (PI), donde se produce un gran cambio en el punto de ajuste. y el término integral acumula un error significativo a medida que aumenta; por lo tanto, el controlador se sobrepasa y continúa aumentando a medida que se deshace este error acumulado.

Las restricciones físicas antes mencionadas tienen impactos importantes en los diseños de control con un término integral del controlador PI, de modo que si el controlador alcanza una condición de saturación sin alcanzar el punto de referencia o trayectoria requerida, se considera que todo el sistema en operación de lazo cerrado está bajo la condición de liquidación nombrada, mientras que la parte integral del controlador continúa teóricamente agregando esfuerzo de control, pero está físicamente saturada y el asunto ideal es físicamente irresoluble debido a la saturación del proceso; es decir, la salida del proceso está limitada en la parte inferior o superior de su escala física, lo que hace que el error de control sea constante, donde el problema específico es el sobreimpulso redundante35.

Además, el análisis de la saturación en términos de control se ha realizado mediante diseños anti-windup, donde las aplicaciones a sistemas lineales han sido dominantes en la literatura abierta36,37,38,39. Los diseños anti-windup pueden implicar que los controladores se apaguen por períodos de tiempo hasta que la respuesta regrese a un rango satisfactorio, lo que ocurre cuando el proceso del regulador ya no puede afectar la variable controlada. En aplicaciones prácticas, esta tarea la realizan manualmente los ingenieros de procesos.

Este problema se puede abordar inicializando el regulador integral a un valor preestablecido de acuerdo con el valor anterior al problema agregando un punto de ajuste en un rango adecuado para desactivar la función integral hasta que la variable de proceso que necesita ser controlada ingrese a la región controlable. Esto evita que el término integral se acumule por encima o por debajo de los límites predeterminados, y el término integral se vuelve a calcular para restringir el proceso dentro de los límites factibles. El término integral debe ser forzado a cero cada vez que el error de control cruce o sea igual a cero. Esto elimina la necesidad de que el regulador haga que el sistema tenga la misma integral de error en la dirección opuesta a la perturbación40.

Los diseños de control antiwindup para sistemas no lineales son actualmente un verdadero desafío debido a la necesidad práctica de diseñar controladores realizables, por ejemplo, linealizando controladores vía inversión de planta; sin embargo, este enfoque se basa en un modelo fenomenológico predictivo, lo cual es un inconveniente, así como técnicas de control óptimo basadas en el principio máximo de Pontryagin o el enfoque de Euler-Lagrange con aplicaciones importantes, como la transmisión segura de datos y la estabilización de sistemas químicos a través de osciladores caóticos41,42,43. Por las razones anteriores, los controladores PI lineales se han considerado con éxito y se han diseñado varios enfoques para evitar los fenómenos de enrollamiento44,45,46,47,48 apagando la parte integral de los controladores para diferentes algoritmos; sin embargo, estos controladores tienen estructuras complejas y su implementación física es difícil.

En este trabajo se propone una estrategia de control simple que solo considera una integral del error de control con una ganancia adaptativa, que apaga automáticamente la acción de control cuando el controlador está bajo saturación, evitando los fenómenos de windup. El controlador propuesto se aplica con éxito a una clase de osciladores caóticos no lineales con fines de regulación y seguimiento de la trayectoria.

Los modelos de osciladores no lineales se han empleado como punto de referencia para fines de sincronización en el marco de la transmisión segura de datos, y se pueden encontrar ejemplos prácticos en Chen, Van der Pool, Rikitake y otros trabajos sobre modelos de osciladores caóticos no lineales.

El sistema dinámico caótico de Rikitake es un modelo que intenta explicar el cambio de polaridad irregular del campo geomagnético de la Tierra49,50. Las inversiones frecuentes e irregulares del campo magnético de la Tierra inspiraron varios estudios tempranos que involucraban corrientes eléctricas dentro del núcleo fundido de la Tierra. Uno de los primeros modelos de este tipo en reportar reversiones fue el modelo de dínamo de dos discos tipo Rikitake51. El sistema exhibe un caos tipo Lorenz y orbita alrededor de dos puntos fijos inestables. Este sistema describe las corrientes de dos discos de dínamo acoplados.

La dinámica tridimensional del sistema de dínamo tipo Rikitake se describe a continuación:

También se pueden describir en forma vectorial:

donde \({\bf {x}}=\left[ \begin{matriz}x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{matriz}\right] ,\) \({\bf {A}}=\ izquierda[ \begin{matriz}-1&{}1&{}0\\ 0&{}-1&{}0\\ 0&{}0&{}-\delta \\ \end{matriz}\right] , \) \ ({\bf {f}}\left( {\bf {x}}\right) =\left[ \begin{matriz}0\\ x_1x_3\\ \gamma ^2\left( 1-x_1x_2\right) \ \ \end{matriz}\right] ,\) y \({\bf {B}}=\left[ \begin{matrix}0\\ 0\\ 1\\ \end{matriz}\right] .\ )

Los valores de los parámetros son \(\delta =0.01\) y \(\gamma =2.0\).

Aquí, \({\bf {x}}\ \in {\mathbb {R}}^3\) es el vector de variables de estado, que pertenece a un conjunto compacto \(\Phi \) y, naturalmente, está acotado, y Se supone que \({\bf {f}}({\bf {x}})\) es un campo vectorial uniforme, donde \({\bf {f}}\left( \cdot \right) : {\ mathbb {R}}^3\rightarrow {\mathbb {R}}^3\) y \(u({\bf {x}})\in{ \mathbb {R}}\).

El controlador integral en (3) estabiliza el comportamiento dinámico del sistema (2) con fines de regulación y seguimiento de la trayectoria:

Definamos la dinámica del error de control del sistema (1) bajo el controlador (Ec. 3) como:

Entonces, la ecuación. (4) se reescribe en notación vectorial:

con: \({\bf {e}}=\left[ \begin{array}{l} e_1 \\e_2 \\e_3 \\e_4\\end{array}\right] , \) \(\Gamma ( {\bf{e}})=-\left[\begin{matriz}{llll} 1 &{} -1 &{} 0 &{} 0 \\ 0 &{} 1 &{} 0 &{} 0 \\ 0 &{} 0 &{} \delta &{} -k_3\text {abs}(e_3) \\0 &{} 0 &{} -1 &{} 0 \\\end{matriz}\ derecha ] , \) \({\bf {F}}({\bf {e}})=\left[\begin{array}{c}0 \\e_1e_3\\ -\gamma ^2e_1e_2\\0\ \ \end{array} \right] , \) y \(\Delta =\left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ \gamma ^2+\delta x_{3r} \\ 0 \ \ \end{matriz}\derecha].\)

El error de control mencionado anteriormente se define como \({\bf {e}}={\bf {x}}-{\bf {x}}_r\), es decir, la diferencia entre los valores reales del vector de la variable de estado y el vector de referencia El vector de referencia, \({\bf {x}}_r\) es un vector constante para el caso de regulación, y es variable para el caso de seguimiento.

Suponiendo que \(0\le \Vert {\bf {e}}\Vert \le {e}_B\); \(0\le {e}_B <\infty \), donde \({e}_B\) es el límite superior finito del error de control, definamos:

Consideremos la siguiente forma cuadrática como una función de Lyapunov:

La derivada temporal correspondiente se define como:

Sustituyendo la ecuación. (5) en la ecuación. (9) produce:

La ecuación (10) produce:

Aplicando la desigualdad de Rayleigh a la Ec. (11):

Entonces, la ecuación. (12) a la ecuación. (15) se sustituyen en la ecuación (11):

dónde:

En la ecuación. (17), \(\Vert {\bf {e}}\Vert _{\Gamma ^{*}}\) se define como

Por tanto, de lo anterior, se puede concluir, por la acotación última, que el error de regulación \({\bf {e}}(t)\) está uniformemente acotado para cualquier condición inicial \({\bf {e}} (t_0)\), tal que \({\bf {e}}\left( t\right) =\{{\bf {e}}(t)|\ \Vert {\bf {e}}\Vert \le \mathfrak {R}; \ \mathfrak {R}>0\}\), y finalmente:

Las simulaciones numéricas se realizaron en una computadora personal con procesador Intel Core i7, y el sistema en la Ec. (5) de ecuaciones diferenciales ordinarias se resolvió numéricamente empleando la biblioteca ode23s de MATLAB\(^{ \text {TM}}\), con las correspondientes condiciones iniciales \(x_{10} = 0.1\), \(x_{20 } = 0,1\) y \(x_{30} = 0,1\), según McMillen51. Se selecciona una configuración de control de una sola entrada y una sola salida (SISO) para el sistema. El sistema está en el régimen de lazo abierto desde el inicio hasta \(t = 100\)-unidades de tiempo, donde el controlador (Ec. 3) se activa y \(x_3\) se propone como la variable controlada. Se realiza un primer conjunto de simulaciones con fines de regulación, donde el punto de referencia o punto de ajuste seleccionado es \(x_{3r} = 1.0\), y se realiza un segundo conjunto de simulaciones para el caso de seguimiento, donde el sistema (1) es obligado a seguir la trayectoria descrita para \(x_{3r} = 2.5\ \sin (0.1t + 0.5)\). Para ambos requisitos de control, es decir, regulación y seguimiento, las saturaciones de control vienen dadas por los siguientes límites inferior y superior:

Ponemos \(u_{min}=-10\) y \(u_{max}=20\).

Para propósitos de comparación, se aplica un controlador integral estándar similar con una ganancia fija de la siguiente manera:

Aquí, para lograr las condiciones más similares para la operación del controlador (Ec. 21) y el controlador (Ec. 3), la ganancia de control \(k_1 = -1.0\) es igual para ambas leyes de control.

La figura 1 muestra el comportamiento dinámico tanto en bucle abierto como en bucle cerrado de la variable de estado controlada \(x_3\) para el caso de regulación. Como se observa, la trayectoria correspondiente alcanza casi inmediatamente el punto de referencia \(x_{3r} = 1.0\) para el controlador propuesto. Adicionalmente, cuando el controlador integral está en operación, la trayectoria correspondiente tiene mayores sobreimpulsos oscilatorios y, además, el controlador integral no es capaz de regular el comportamiento dinámico del estado controlado \(x_3\), que tiene una oscilación sostenida.

Control de regulación de \(x_3\).

Las Figuras 2 y 3 muestran el rendimiento de bucle abierto y bucle cerrado de las trayectorias de variables de estado no controladas, \(x_1\) y \(x_2\), respectivamente. Como consecuencia del desempeño de la variable de estado controlada \(x_3\), se suprime el comportamiento oscilatorio y las trayectorias se conducen suavemente a un estado estable bajo la acción del controlador propuesto. Además, las trayectorias de las variables de estado no controladas bajo la acción del controlador integral mantienen un comportamiento oscilatorio incluso después de que se inicia la acción de control, y finalmente alcanza un estado estable.

Trayectorias de la variable no controlada \(x_1\).

Trayectorias de la variable no controlada \(x_2\).

El desempeño de las variables de estado se muestra en la Fig. 4, donde se presenta un retrato de fase bajo las condiciones mencionadas en las Figs. 1, 2 y 3. La órbita correspondiente bajo el controlador propuesto llega al estado estacionario mencionado anteriormente, con \(x_3 = x_{3r}\) y se suprime el comportamiento oscilatorio. Sin embargo, la órbita correspondiente inducida por el controlador integral mantiene oscilaciones con una relación amplia y la órbita mantiene un comportamiento oscilatorio.

Retrato de fase para control de regulación.

Señales de control afectadas por el problema de regulación.

Los comportamientos antes mencionados de las variables de estado bajo ambos controladores pueden explicarse por el desempeño de ambos controladores bajo comparación. La figura 5 demuestra el rendimiento del esfuerzo de control. El controlador propuesto tiene un comportamiento suave y prácticamente no alcanza condiciones de saturación. Como se esperaba, el controlador tiene la respuesta anti-windup deseada, conduciendo la trayectoria de la variable de estado controlada al punto de ajuste requerido y previniendo la respuesta oscilatoria de las variables de estado no controladas, como se mencionó anteriormente. La ley de control integral muestra tanto la saturación superior como la inferior durante el encendido, que es el llamado efecto windup. Se puede observar que el esfuerzo de control es muy alto debido a la gran oscilación que ocurre al inicio del régimen de lazo cerrado y la oscilación sostenida en condiciones de estado estacionario en aplicaciones prácticas. Estas características no son deseables debido al potencial de daño físico al actuador de control. Finalmente, para el caso de regulación, la Fig. 6 muestra el desempeño dinámico del error de regulación E. Cuando el control ocurre en \(t = 100\) unidades de tiempo, el error de regulación es cero cuando se enciende el controlador propuesto, lo cual es de acuerdo con todos los resultados anteriores. Para la ley de control integral se observa el comportamiento oscilatorio esperado, lo que demuestra que no se alcanza el punto de consigna requerido.

Error de regulación.

Ahora, el controlador propuesto también puede forzar a la variable de estado controlada a seguir una trayectoria sinusoidal específica, como se describió anteriormente, cambiando el objetivo de control al caso de trayectoria de seguimiento. Se realizó un conjunto similar de simulaciones numéricas para mostrar el rendimiento del controlador propuesto y el controlador integral. La figura 7 muestra el comportamiento dinámico de bucle abierto y bucle cerrado de la variable de estado controlada \(x_3\), y los controladores se encienden en \(t = 100\) unidades de tiempo. Los controladores propuestos conducen a la trayectoria dinámica y casi instantáneamente a la trayectoria sinusoidal requerida sin sobreimpulsos, y en el tiempo de fraguado, como se observa, la ley de control integral provoca sobreimpulsos elevados y el controlador no es capaz de alcanzar la trayectoria requerida.

Trayectoria de seguimiento.

Las Figuras 8 y 9 muestran el comportamiento dinámico de las variables de estado no controladas, \(x_1\) y \(x_2\), en el caso de la trayectoria de seguimiento. El comportamiento sinusoidal de la variable de estado controlado \(x_3\) conduce a la supresión de las oscilaciones complejas del estado no controlado, donde alcanzan un estado estacionario más rápidamente.

Comportamiento de la variable no controlada \(x_1\).

Comportamiento de la variable no controlada \(x_2\).

Como en el caso de regulación, en la Fig. 10 se muestra un retrato de fase del caso de trayectoria de seguimiento. Como en el caso anterior, la órbita ancha, que está relacionada con el comportamiento oscilatorio correspondiente, está relacionada con la acción del controlador integral. Esto es diferente de la órbita estrecha forzada por la acción de la ley de control propuesta, que obliga a la trayectoria \(x_3\) a alcanzar la trayectoria de referencia sinusoidal.

La figura 11 está relacionada con el desempeño del esfuerzo de control de ambos controladores. Como se puede observar, el control integral sufre nuevamente saturaciones inferiores y superiores, haciendo que el controlador no pueda forzar al sistema a alcanzar la trayectoria de referencia y dando lugar a altas oscilaciones en el esfuerzo de control, lo cual es, como se mencionó, indeseable. Sin embargo, el controlador propuesto tiene un efecto anti-windup, evitando los fenómenos de saturación, lo que permite al controlador forzar bien el objetivo de lazo cerrado requerido. Tenga en cuenta que el controlador propuesto tiene una oscilación suave, que se requiere para mantener la trayectoria de seguimiento deseada. Finalmente, la Fig. 12 muestra el comportamiento del error de seguimiento. Aquí se concluye que el controlador propuesto alcanza su objetivo de control de manera adecuada y sin retardos de tiempo, overshoots o tiempos de fraguado largos. Además, la ley de control integral no alcanza la trayectoria deseada, mostrando un comportamiento no deseado, con grandes oscilaciones.

Retrato de fase de la trayectoria de seguimiento.

Señales de control bajo la trayectoria de seguimiento.

Error de trayectoria de seguimiento.

Este trabajo presenta un diseño alternativo para una clase de controladores integrales con ganancia adaptativa. La ganancia adaptativa es función de los valores absolutos del error de control, donde el principal objetivo es apagar la acción de control cuando el controlador está saturado, evitando así los fenómenos de windup nombrados. La metodología propuesta se aplica con éxito a un oscilador caótico tipo Rikitake para fines de regulación y seguimiento de la trayectoria, de modo que el diseño de control propuesto puede evitar los fenómenos de liquidación en el caso de saturación de control. Los experimentos numéricos muestran el desempeño de la metodología considerada y el controlador propuesto se compara con un controlador integral equivalente con una ganancia de control fija.

Los conjuntos de datos utilizados y/o analizados durante el presente estudio están disponibles del autor correspondiente previa solicitud razonable.

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This work was supported by the Secretaría de Investigación y Posgrado of the Instituto Politécnico Nacional (SIP-IPN) under the research grant SIP20221338.

Departamento de Biotecnología y Bioingeniería, CINVESTAV, Ciudad de México, 07360, México

Ricardo Aguilar-López

UPIITA, Departamento de Tecnologías Avanzadas, Instituto Politécnico Nacional, Ciudad de México, 07340, México

Juan L. Mata-Machuca

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RAL, conceptualizó el estudio y realizó los experimentos numéricos, y JLMM, realizó el diseño, realizó el análisis y organizó la financiación. Todos los autores revisaron el manuscrito.

Correspondence to Juan L. Mata-Machuca.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Aguilar-López, R., Mata-Machuca, JL Estabilización de un oscilador caótico mediante una clase de controladores integrales bajo saturación de entrada. Informe científico 13, 5927 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-33201-3

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Recibido: 20 julio 2022

Aceptado: 08 abril 2023

Publicado: 12 abril 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-33201-3

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